Vi har alle i skolen lært om den pythagoræiske læresætning om retvinklede trekanter. Den siger at for siderne i en retvinklet trekant med siderne a, b og c, hvor c er den lange side i trekanten, gælder der at
a×a + b×b = c×c
eller i lidt kortere form:
a² + b² = c²
Denne sætning, som vi ofte bruger i geometrien rummer et slet skjult dilemma, som Pythagoras, der formulerede sætningen, ikke var sen til at opdage. I det simple tilfælde hvor trekanten er det halve af et kvadrat med sidelængden 1 og kvadratet er skåret langs diagonalen siger sætningen at 1×1 + 1×1 = c×c, hvor c er længden af kvadratets diagonal eller trekantens lange side. Lidt sammentrækning af venstresiden efterlader os i den situation, at længden c skal findes som løsning til ligningen
c×c = 2
eller
c² = 2
På Pythagoras' tid kendte man til de hele tal (1, 2, 3, osv. samt -1, -2, osv.) og brøkerne (1/2, 1/3, 1/4, 2/3 osv.). Disse tal virkede tilstrækkelige, fordi mellem to brøker kan man altid udregne en anden brøker som ligger imellem de to oprindelige. En nem måde at demonstrere det på er ved at tage gennemsnittet af de to oprindelige brøker: r = (p + q) / 2, hvor p og q er de oprindelige brøker. r ligger imellem p og q, og med sin skolelærdom om brøkregning vil man hurtigt kunne overbevise sig selv om at r også er en brøk. Grækernes talmængde er nem at forstå, og i vore dage kalder vi mængden af brøker og hele tal for de rationelle tal.
Så i sin søgen efter kvadratets diagonals længde, dvs. løsningen til ligningen c² = 2, søgte Pythagoras naturligvis efter en brøker. I sin søgen opdagede han imidlertid et bevis for at der IKKE findes en brøk, som er løsning til hans egen ligning. Men da c jo er længden af en geometrisk ting, så må tallet jo findes! Altså havde han fundet et tal som ikke tilhørte de tal man dengang kendte. Og hvis man bruger andre kombinationer af tal for a og b i Pythagoras ligning opdager man at der er en mængde af ligninger, som ligeledes ikke har løsninger blandt de rationelle tal. Ligningen udpeger altså en lang række tal, som ikke findes blandt de rationelle tal.
Det siges at Pythagoras forstod at dette budskab var for revolutionerende og kættersk for hans samtidige matematikere, hvorfor han undlod at offentliggøre sit bevis.
Men eftertiden lod sig ikke stoppe af dogmer, så i erkendelsen af at der altså er tal, som ikke tilhører de rationale tal opfandt man mængden af irrationale tal. Disse tal ligger imellem de rationale tal og fylder ud imellem de huller der øjensynlig er imellem de rationale tal på trods af at man kan skabe rationale tal, som ligger vilkårligt tæt sammen! Det strider jo mod vores sunde fornuft, at der skulle være behov en mængde af tal, der ligger imellem tal, som allerede ligger vilkårligt tæt på hinanden. Men det var hvad Pythagoras beviste.
Denne konklusion er et af de første eksempler på at mennesket nåede frem til en konklusion, som ikke rigtig kan bringes i forening med sund fornuft. Pythagoras var således en af de første til at erkende at vores fornuft og intuition ikke rækker til at forstå, hvad man iøvrigt kan bevise gennem matematisk tænkning. Også selvom matematikken netop bygger på menneskets sunder fornuft.
Så med vedtagelsen af eller opfindelsen af de irrationale tal begav mennesket sig ud på en fornuftstridig men uomgængelig abstraktion fra det intuitive og direkte sanselige. I sidste ende gjorde man kort proces på problemet og vedtog at løsningen på Pythagoras ligning blev kaldt √2 (kvadratroden af 2), fordi man ofte havde behov for at skrive tallet selvom man havde bevist, at det ikke kan skrives som et rationalt tal. Man skulle jo også videre og udforske nye områder.
Dét er ukuelighed.
Bemærk, at mange lommeregnere kan angive en omtrentlig værdi for √2, som ca. 1,4142, men denne værdi er jo et rationelt tal, for det kan skrives som 7071/5000 . Det er altså med andre ord ikke det tal som opfylder Pythagoras ligning.
Siden hen fandt man andre lignende problemer. Et af dem er cirklens kvadratur, idet mennesket havde stillet sig spørgsmålet: Hvis man har en cirkel med diameteren 1 (i en eller anden måleenhed), hvad er så sidelængden på det kvadrat, der har samme areal som cirklen? Eller med andre ord: Hvordan udregner man arealet af cirklen?
Man søgte naturligvis efter ting som kunne give et praj om hvordan det skulle udregnes og Leonardo da Vinci mente tilsyneladende, at dette guddommelige regnestykke skulle findes i menneskets proportioner idet han tegnede den omskrevne cirkel og det omskrevne kvadrat, når mennesket stod i to forskellige stillinger. Tegningen er velkendt: Se billedet
Men tallet som bruges til udregning af cirklens areal er det vi kalder π (det græske bogstav for p), og som mange fejlagtigt tror er lig med 22/7. Men π er endnu et irrationelt tal og kan ikke skrives som en brøk. 22/7 er således en ganske grov tilnærmelse til den rigtige værdi.
For det meste er matematikere ikke særligt interesserede i tallenes eksakte numeriske værdi, hvilket ses af at de blot skriver symbolerne for tallene i de formler, som de indgår i. Men værdien af π har været særligt studeret, og i vore dage bruges udregningen af gode tilnærmelser til π som et teknologisk kapløb. Tallet π er dermed i dag kendt mere flere milliarder decimalers nøjagtighed.
Kendskabet til så mange decimaler har givet mulighed for at lave statistik på hvor ofte hver enkelt ciffer fra 0 til 9 forekommer i tallet, og det viser sig at alle cifre optræder lige hyppigt, og der ser ikke ud til at være særlige kombinationer af cifre, som optræder hyppigere end andre. Disse egenskaber ville være karakteristiske for et tal man havde genereret ved at vælge cifrene mellem 0 og 9 tilfældigt op af en pose. Så umiddelbart kunne π lige så godt have været et tilfældigt tal. Men det er det ikke: Det er et af matematikkens væsentligste tal, som indgår i ufatteligt mange sammenhænge.
Belært af Pythagoras ligning navngav man de irrationelle tal, som dem der ligger imellem brøkerne, og den samlede mængde af kendte tal, de rationale og de irrationale tal kaldes tilsammen de reelle tal. Disse tal udgør tilsammen alle tal på vores kendte tallinje fra -∞ til +∞. Den skønhed der lå i at man opdager en ligning, som ikke har nogen løsninger indenfor de kendte tal dannede skole i matematikken. Næste skridt var at skabe symmetri i Pythagoras' ligning med hensyn til tal mindre end nul.
Lad os kigge på en simpel andengradsligning meget lig Pythagoras' problem:
x² = 1
Denne ligning har løsningen x = 1 og x = -1 for det er jo sådan at "minus gange minus giver plus". Så -1 gange -1 er 1. Men hvad så med ligningen
x² = -1 ?
Den har jo så ingen løsning, for intet tal ganget med sig selv kan give et negativt tal. Dvs. bare ved at ændre højre side af ligningen fra 1 til -1 blev hele løsningsrummet for ligningen reduceret fra to løsninger til ingen løsninger. Det samme gælder for alle andre værdier af højresiden af ligningen.
Denne assymmetri brød matematikerne sig ikke om, og de prøvede derfor at abstrahere sig væk fra problemet ligesom med √2, som de ikke kan skrive som almindeligt tal. De indførte simpelthen den imaginære enhed (imaginær = forestillede) for at se om det gav ny indsigt i verden. De hævdede altså at der må være en løsning til ligningen og at denne løsning hedder i (for imaginær):
i×i = -1
Dvs. ligningen x² = -1 har de to løsninger x = i og x= -i , fordi -i × -i kan skrives som ((-1)×i)×((-1)×i) = (-1)×(-1)×(i×i) = 1×i×i = i×i = -1. Bemærk, at vi umiddelbart går ud fra at man kan gange den imaginære enhed i med et reelt tal. Hvis man tænkte sig at vi havde brug for en enhed for vores velkendte reelle tal - lad os kalde den r - ville vi skulle skrive det reelle tal tre som 3r. Men man lod det være underforstået at når vi skriver 3 så betyder det et reelt tal sådan som det plejer, mens 3i er et imaginært tal, som er tre gange den imaginære enhed.
Men for at denne imaginære enhed skulle give mening, var man nødt til at indføre en tilhørende matematik til denne enhed. F. eks. skulle man vel også have løsninger til ligningen x² = i?
Det viser sig, at for at alt går op i en højere enhed skal vi skrive løsningerne på denne ligning som:
x = ½ × √2 × (1 + i) og x = -½ × √2 × (1 + i)
hvor vi genfinder √2 fra Pythagoras og hvor vi har fundet ud af at blande den reelle talenhed (1) og den imaginære talenhed (i). Men det kan vel ikke være en løsning for 1 + i er jo ikke regnet færdig! Man må vel kunne udregne hvad resultatet af 1 + i er? Men se det er ikke muligt: 1 + i er bare 1 + i. Tættere kommer vi ikke på svaret ligesom med √2. Og dog er der en væsentlig forskel for med tallet √2 kan vi angive en tilnærmelse på f. eks. vores lommeregner som er ca. 1,4142. Det har vi absolut ingen mulighed for med tallet 1 + i, fordi man kan populært sagt ikke "lægge pærer og bananer sammen". Så 1 angiver tallet (1 + i)'s reelle komponent mens i angiver tallets imaginære komponent. Disse to komponenter er "orthogonale", dvs. de kan ikke sammenblandes. Hvor meget reelt og hvor meget imaginært et tal er kan angives fuldstændig uafhængigt af hinanden. Et tal bestående af en reel komponent og en imaginær komponent (dvs. der stå i et sted i tallet) kaldes et komplekst tal, og vi afbilleder gerne mængden af komplekse tal i et koordinatsystem med to akser, hvor den ene akse - den reelle akse - angiver hvor stor en reel komponent tallet har, mens den anden akse - den imaginære akse - angiver hvor stor en imaginær komponent tallet har.
Men hvad får vi ud af det? Der er ingen tvivl om at de komplekse tal ikke findes i naturen, som vi beskæftiger os med i det daglige. Vi kan således ikke lave en måling i naturen, som vil give os et komplekst eller imaginært tal. Alle målinger leder til reelle tal eller faktisk til rationale tal (man kan ikke aflæse π eller √2 på et instrument). Men den matematik, som kommer ud af at indføre den imaginære enhed og komplekse tal viser sig at gøre livet nemmere for os i mange henseender. Således benyttes komplekse tal i udpræget grad indenfor ingeniørvidenskaberne og fysikken. Yderligere indenfor matematikken selv har det vist sig at den komplekse matematik tilbyder formlen, sætninger og konklusioner, som på simpel vis forklarer fænomener indenfor matematikken for reelle tal.
Så menneskets udforskende ånd og stræben har ført til en simplere matematik blot ved at abstrahere fra det umiddelbart begribelige. Det er ukuelighed. En pudsighed indenfor den komplekse matematik er formlen:
-1 = ei×π
som forbinder alle de vigtigste konstanter indenfor matematikken: e (den exponentiale enhed), i den imaginære enhed, 1 den reelle enhed og π den "geometriske enhed".
I forlængelse af succesen med at definere sig ud af problemerne med f. eks. √2, π og i mente man i begyndelsen af 1900-tallet at det skulle være muligt fuldstændigt at definere matematikkens grundlag alene ud fra definitioner (i matematikken kaldet axiomer). Dvs. vores almindeligt kendte regneregler, som vi bruger i det daglige skulle på samme måde som f. eks. de komplekse tals matematik kunne opbygges alene ud fra axiomer. Dette står i kontrast til hvordan vil normalt tænker på matematikken: At 1 + 1 = 2 bygger ikke på en vedtagelse men på en logisk slutning, eller måske snarere på mennesket snusfornuft. Men tanker var altså at man kunne opbygge en matematik alene ud fra vedtagelser og at dette ville skabe et komplet og lukket matematisk univers. I denne sammenhæng betyder lukket, at hele den matematik som bygger på vedtagelserne, og alle dens konsekvenser vil holde sig indenfor de oprindelige vedtagelsers gyldighedsområde.
I sin søgen efter sådan en formulering af matematikken oplevede matematikeren Hilbert et problem: Han beviste at uanset hvordan man opbygger sin matematik på et axiomalt grundlag, så vil den matematik man får ud af det lede til konklusioner og resultater, som ligger udenfor gyldigheden af de oprindelige antagelser! Dvs. man kan ikke opbygge en konsistent matematik alene på axiomer. Man vil uvægerligt komme til resultater, som kræver nye vedtagelser. Det er lidt som med den imaginære enhed i: Indførelsen af den udvider gyldighedsområdet for den kendte matematik, men den afkræver samtidig nye problemer og vedtagelser.
Matematikken kan altså ikke afgrænses. Men bare fordi matematikken øjensynlig har det med at overskride menneskets grænser gang på gang, har vi ikke opgivet at grave dybere i den. Ukueligt har matematikerne fortsat med at udforske tallenes gåder selvom de gang på gang slår hovedet mod muren og må give fortabt overfor matematikkens øjensynlige inkonsistenser.